2. 随机变量及其分布

2.1 随机变量

样本空间是{e}\{e\}, X=X(e)X = X(e) 是定义在 SS 上的实值单值函数,则称 XX 为随机变量。
定义域是 SS,值域是实数集合
注意是单值函数,也就是说,随机变量就是一个数。

可以使用随机变量来表示事件

例如 1 表示 true , 0 表示 false

2.1.1 例题

  1. 盒子里有 5 个球, 2 白 ,3 黑,从中任取 3 个球

    XX 为抽取黑球的个数,则 A:A: 全是黑球 X=3\Rightarrow X = 3

2.2 离散随机变量及其分布律

XX 的所有可能取值为 xk(k=1,2)x_k(k = 1, 2 \ldots)
P{X=xk}=Pk ,k=1,2P\{X = x_k\} = P_k \ , k = 1, 2 \ldots

由概率性质可知:

  1. Pk0P_k \ge 0

  2. k=1Pk=1\sum_{k = 1}^\infty P_k = 1

上述性质称为分布律,也可用表格表示

2.2.1 0 - 1 分布

一次试验中
XX 只可能取 0,10, 1 两个值(事件 A 出现或不出现),那么

P{x=k}=pk(1p)1k,k=0,1P\{x = k\} = p^k(1 - p)^{1 - k}, k = 0, 1

2.2.2 伯努利试验(二项分布)

设有一个 EE,只有两个结果,现将 EE 进行 n 次独立的重复试验,称为 n 重伯努利试验。

伯努利试验满足二项分布:

P{X=k}=Cnkpk(1p)nk ,k=0,1,2nP\{X = k\} = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k} \ , k = 0,1,2 \ldots n

简化为:B(n,p)B(n, p)

2.2.2.1 例题

  1. 仪器中有 5 块同类固体组件相互独立工作,每一块经 TT 小时后损坏的概率为 p, 问: TT 小时后,其中有 3 块损坏的概率 pp

    r,v,Xr, v, X——损坏块数,有 XB(s,p)X \sim B(s, p),则:
    p{X=3}=C53p3(1p)2p \{X = 3\} = C_5^3 p^3 (1 - p)^2

2.2.3 泊松分布

利用泊松定理,则有:

λ<0\lambda \lt 0, nn 是任意正整数,设np=λnp = \lambda(pp 很小),则
kZ+\forall k \in Z^+,则有:

limnCnkpk(1p)nk\lim_{n \rightarrow \infty} C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}

知:

Cnkpk(1p)nk=n(n1)(nk+1)k!(λn)k(1λn)nk=λkk!n(n1)(nk+1)nk(1λn)n(1λn)k\begin{aligned} C_n^kp^k(1-p)^{n-k} &= \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}(\dfrac{\lambda}{n})^k(1-\dfrac{\lambda}{n})^{n-k} \\ \\ &= \dfrac{\lambda^k}{k!}\dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{n^k}(1-\dfrac{\lambda}{n})^{n}(1-\dfrac{\lambda}{n})^{-k} \end{aligned}

定义:称 r,v,Xr,v, X,若

P{X=k}=λkk!eλ,k=0,1,2,,nP\{X = k\}= \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, k = 0, 1, 2, \ldots , n \ldots

记为 Π(λ)\Pi(\lambda)

2.2.3.1 例题

  1. 例:在保险公司 2500 名同一年龄同社会阶层人参保,据统计在此类人中,每年每人死亡率为 0.002,每人参保在 1 月 1 日交 1200 元保费,而死亡时家属可以从保险公司领取 20 万保险金。求:(不计利息及管理费)

    1. 保险公司亏本的概率
    2. 保险公司获利不少于 100 万的概率

    死亡人数 r,v,XB(2500,0.002)r, v, X \sim B(2500, 0.002)

    亏本:200000X>3000000X>15200000 X > 3000000 \to X > 15

    p{X>15}=k=162500C2500k0.002k0.9982500k1p{X15}1k=0155kk!e510.998=0.000069\begin{aligned} \therefore p\{X > 15\} &= \sum_{k=16}^{2500} C_{2500}^k \cdot 0.002^k \cdot 0.998^{2500 - k} \\ \\ & \approx 1 - p\{X \le 15\} \\ \\ & \approx 1 - \sum_{k=0}^{15}\dfrac{5^k}{k!}e^{-5} \\ \\ & \approx 1 - 0.998\ldots \\ \\ & = 0.000069 \end{aligned}

  2. 二进制传输信号,信道无记忆,误码率为 0.20.2,为了抗干扰,重复发送消息:S=01101S = 01101,假设信道对每个 0,10, 1的干扰相互独立,问:

    1. 重复 5 次 SS, 能成功发送一次的概率。
    2. 为确保成功的概率为 0.990.99, 问至少应该重复发送多少次。

    无记忆:

    p{β1βm(Receive)α1α2αm(Send)}=p{β1α1}p{β2α2}p{βmαm}\begin{aligned} & p\{\beta_1 \ldots \beta_m(Receive)\mid \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_m(Send)\} \\ \\ & = p\{\beta_1 \mid \alpha_1\} \cdot p\{\beta_2 \mid \alpha_2\} \ldots p\{\beta_m \mid \alpha_m\} \end{aligned}

    1. 引入一个合理的随机变量:r,v,Xr, v, X(次数),则,正确接收的次数 r,v,XB(5,p)r, v, X \sim B(5, p)pp 为每次发 SS 能正确收到的概率)

    p=P{Receive SSend S}=P00P11=(10.2)5=0.85=0.328\begin{aligned} p &= P\{Receive \ S | Send \ S\} \\ \\ &= P{0|0}P{1|1} \cdots \\ \\ &= (1- 0.2)^5 \\ \\ &= 0.8^5 \\ \\ &=0.328 \end{aligned}

    P{Success}=P{X1}=1P{X=0}=1C500.3280(10.328)5=0.863\begin{aligned} P\{Success\} &= P\{X \ge 1\} \\ \\ &= 1 - P\{X = 0\} \\ \\ &= 1 - C_5^0 0.328^0 (1 - 0.328)^5 \\ \\ &= 0.863 \\ \end{aligned}

    P{X1}=0.99=1(0.672)n,n=12P\{X \ge 1\} = 0.99 = 1 - (0.672)^n, n = 12

  3. 电话交换机,每分钟呼叫次数 XX 服从 Π(4)\Pi(4),求:

    1. 每分钟恰有 8 次呼叫的概率
    2. 每分钟不大于 10 次的概率
    1. r,v,XΠ(4)r, v, X \sim \Pi(4)
      P{X=k}=λkk!eλ,k=0,1,2P\{X = k\} = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, k = 0,1,2 \ldots

2.2.4 超几何分布——产品检验模型

P{X(Number of Defective)=k}=CMkCNMnkCNn,k=0,1,2,,ll=min(M,n)\begin{aligned} & P\{X(Number \ of \ Defective) = k\} \\ \\ & = \frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n}, k = 0,1,2, \ldots, l \\ \\ & l = \min(M, n) \end{aligned}

limNCMkCNMnkCNn=Cnkpk(1p)nk\lim{N \to \infty} \frac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n} = C_n^k p ^k (1 - p)^{n - k}

其中

MNp\frac{M}{N} \to p

2.3 随机变量的分布函数

2.3.1 定义

设随机变量 XXXRX \in R, 则称 F(x)=P{Xx}F(x) = P\{X \le x\} 为随机变量 XX 的分布函数。

2.3.2 性质

  1. F(x)F(x) 为不减函数

    x2>x1x_2 \gt x_1,有 F(x2)F(x1)F(x_2) \ge F(x_1)
    F(x2)F(x1)=P{x1<X<x2}0\because F(x_2) - F(x_1) = P\{x_1 \lt X \lt x_2\} \ge 0

  2. 0F(x)10 \le F(x) \le 1 (非负有界性)
    F()=0=limxF(x)=0F(-\infty) = 0 = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0
    F()=1=limxF(x)=1F(\infty) = 1 = \lim_{x \to \infty} F(x) = 1

  3. F(x)F(x) 是右连续的

    F(x+0)=F(x)F(x + 0) = F(x)

  4. 可导性

2.3.3 利用 F(x)F(x) 计算概率

  1. P{x1<Xx2}=F(x2)F(x1)P\{x_1 \lt X \le x_2\} = F(x_2) - F(x_1)
  2. P{X<x}=1F(x)P\{X \lt x\} = 1 - F(x)
  3. P{X=x}=F(x)F(x0)P\{X = x\} = F(x) - F(x - 0)
  4. P{x1<X<x2}=F(x20)F(x1)P\{x_1 \lt X \lt x_2\} = F(x_2 - 0) - F(x_1)

2.3.4 例题

设随机变量 XX 的分布律为

X-123s
pkp_k14\frac{1}{4}1/21/21/41/411

求:

  1. XX 的分布函数

    F(x)=P{Xx}F(x) = P\{X \le x\}
    x<1x \lt -1 时,F(x)=0F(x) = 0
    1x<2, F(x)=P{X=1}=14-1 \le x \lt 2, \ F(x) = P\{X = -1\} = \frac{1}{4}
    2X<3, F(x)=P{Xx}=P{X=1}P{X=2}2 \le X \lt 3,\ F(x) = P\{X \le x\} = P\{X = -1 \} \cup P\{X = 2\}

    F(x)={0x<1141x<2342x<31x3\therefore F(x) = \begin{cases} 0 & x \lt -1 \\[2ex] \frac{1}{4} & -1 \le x \lt 2 \\[2ex] \frac{3}{4} & 2 \le x \lt 3 \\[2ex] 1 & x \le 3 \end{cases}

    F(x)=xkxP{X=xk}=xkxpkF(x) = \sum_{x_k \le x}P\{X = x_k\} = \sum_{x_k \le x}p_k

  2. P{X12},P{32<X12},P{2X3},P{X<2}P\{X \le \frac{1}{2} \}, P\{\frac{3}{2} \lt X \le \frac{1}{2}\}, P\{2 \le X \le 3\}, P\{X \lt 2\} 的概率。

    P{X12}=F(12)=14\begin{aligned} P\{X \le \frac{1}{2}\} = F(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \\ \end{aligned}

    P{32<X52}=F(52)F(32)=3414\begin{aligned} P\{\frac{3}{2} \lt X \le \frac{5}{2}\} &= F(\frac{5}{2}) - F(\frac{3}{2}) \\ &= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \end{aligned}

    P{2X3}=P{X=2}+P{2<X3}=12+F(3)F(2)=12+134=34\begin{aligned} P\{2 \le X \le 3\} &= P\{X = 2\} + P\{2 \lt X \le 3\} \\ &= \frac{1}{2} + F(3) - F(2) \\ &= \frac{1}{2} + 1 - \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}

    P{X<2}=14=P{X2}P{X=2}P\{X \lt 2\} = \frac{1}{4} = P\{X \le 2\} - P\{X = 2\}

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