0%

1. 基本概念

1.1 随机试验

  1. 可重复
  2. 结果不唯一
  3. 结果不确定

随机性:包括上述性质以外还有

  1. 结果范围确定
  2. 试验完成,必有一个确定结果

1.2 样本空间

样本空间是随机试验的所有可能结果集合

1.3 随机事件

样本空间的子集叫做随机事件,元素称为样本点

基本事件:单点集合
必然事件:样本空间本身,记为 Ω\Omega
不可能事件:空集 \varnothing

1.4 事件关系与运算

1.4.1 关系

  1. 相等:AB,BAA \subset B, B \subset AA=BA = B

  2. 和事件:AB={xxA or xB}A \cup B = \{x|x \in A\ or\ x \in B\}

  3. 积事件:AB={xxA and xB}A \cap B = \{x|x \in A\ and\ x \in B\}

  4. 互斥事件:AB=A \cap B = \varnothing,即 AA BB 不能同时发生

  5. 对立事件:AB=S, and AB=A \cup B = S, \ and \ A \cap B = \varnothingAA BB 必有一个发生

    对立事件一定是互斥事件

  6. 差事件:AB={xxA and xB}A - B = \{x|x \in A \ and \ x \notin B\}

    1. AB=AB AA-B = A\overline{B}\ \subset A
    2. ABA \subset B 则,AB=A - B = \varnothing
    3. AB=AABA - B = A - AB

    AB=AB=A(1B)=AABA - B = A\overline B = A(1-B) = A - AB

    1. 总有 A=ABABA = AB \cup A \overline B
      AB=A(AB)=B(AB)A \cup B = A \cup (\overline A B) = B \cup (A \overline B)

1.4.2 运算

1.4.2.1 运算律

  1. 交换律:

    AB=BAA \cup B = B \cup A; AB=BAA \cap B = B \cap A

  2. 结合律:

    A(BC)=(AB)CA \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C
    A(BC)=(AB)CA \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C

  3. 分配律:

    A(BC)=(AB)(AC)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
    A(BC)=(AB)(AC)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

  4. 德摩根律:

    AB=AB\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B
    AB=AB\overline{A \cap B} = \overline A \cup \overline B

1.4.2.2 术语

  1. “至少” —— 加法运算
  2. “同时” —— 乘法运算

例: 设 A,B,CA, B, C 三个事件,A,B,CA, B,C 的运算:

  1. AA 发生,B,C 不发生

    A!B!C

  2. A与B都发生,而C 不发生

  3. ABC中至少有一个发生

  4. ABC都发生

  5. ABC都不发生

  6. ABC不多于一个发生

  7. ABC不多于两个发生

  8. ABC至少两个发生

    AB + AC + BC

  9. ABC恰有一个发生

    A!B!C + !AB!C + !A!BC

  10. ABC 恰有两个发生

    AB!C + !ABC + A!BC

例2:在班上,任选一名学生:
A: 男生
B:二年级
C: 登山队员

  1. AB!C =
  2. 在什么条件下,ABC = C(C 包含于 AB)
  3. 在什么条件下,C 包含于 B

1.5 频率和概率

1.5.1 频率

频率 = 频数 // 试验总数

频数:在 n 次试验中,发生某事件的次数

基本性质

  1. 0fn(A)10 \le f_n(A) \ge 1
  2. fn(S)=1f_n(S) = 1
  3. A1,A2AnA_1, A_2 \cdots A_n 是两两不相容事件,则有 fn(A1A2An)=fn(A1)+fn(A2)++fn(An)f_n(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = f_n(A_1) + f_n(A_2) + \cdots + f_n(A_n)

1.5.2 概率

1.5.2.1 统计定义

在一组相同条件下,重复地做 n 次试验,记, nAn_A为 n 次试验中,事件 A 发生的次数。

nn \to \infty,频率(nAnn_A \over n)稳定在某一个常数 P 附近。
且随着 n 的增大,摆动的幅度越来越小,此时称 A 为随机事件,称 p 为事件 A 发生的概率,记作:P(A)=pP(A) = p

1.5.2.2 数学定义

对于随即试验赋予一个实数P(A)P(A), 称为概率,满足已下条件

  1. 对于任何事件 AA,有 P(A)0P(A) \ge 0

  2. 对于必然事件 SS,有 P(S)=1P(S) = 1

    也可以表示为 P(Ω)=1P(\Omega) = 1

  3. 可列可加性:对于两两不相容事件,则有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)++P(An)P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n)

    也称为完全可加性

P(A)P(A) 表征事件 AA 在一次试验中发生的可能性大小。

上述要点也是概率的性质。
注意,概率是趋近得到的,概率为 1 的事件不一定是必然事件。
同理,概率为 0 的事件不一定是必然事件。

1.5.2.3 性质

  1. P()=0P(\varnothing) = 0

  2. 有限可加:对于两两不相容事件
    P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)++P(An)P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n)

    可以推广到 n=n = \infty 的可列可加性

  3. ABP(B)P(A)A \subset B \Rightarrow P(B) \ge P(A)

  4. 任何事件 AA 都有 P(A)=1P(A) = 1

  5. 逆事件:P(A)=1P(A)P(\overline A) = 1 - P(A)

  6. 加法:P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)

  7. 对于一般事件,有

P(A1A2An)=i=1nP(Ai)1i<jnP(AiAj)+1i<j<knP(AiAjAk)++(1)n1P(A1An)P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = \sum_{i = 1}^nP(A_i) - \sum_{1 \le i \lt j \le n}P(A_iA_j) + \sum_{1 \le i \lt j \lt k \le n}P(A_i A_j A_k) + \cdots + (-1)^{n - 1}P(A_1 \cdots A_n)

1.5.3 概率空间

1.5.3.1 σ\sigma 代数

Ω\Omega 样本空间的一些子集所成的集合 FF,若 FF 满足:

  1. ΩF\Omega \in F
  2. AFA \in F ,则 AF\overline A \in F
  3. AnF,n=1,2,A_n \in F, n = 1, 2, \ldots,则称 i=1AnF\bigcup_{i = 1}^\infty A_n \in F

则称 {Ω,F}\{\Omega, F\} 为可测空间,称 FFσ\sigma -代数

1.5.3.2 样本空间

{Ω,F,p}\{\Omega, F, p\} 为样本空间,其中:

  1. Ω\Omega 样本空间
  2. FF 事件域
  3. pp 概率

1.5.3.3 性质

  1. P()=0P(\varnothing) = 0

  2. AiF,i=1,2,,nA_i \in F, i = 1,2, \ldots, nAiAj=(i!=j)A_iA_j = \varnothing (i != j)

  3. AB=AB = \varnothingP(AB)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

    A,BA, B 为任意事件,那么, P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A B)
    将上式推广到 n 个,则有

    P(i=1nAi)=i=1nP(Ai)1i<jnP(AiAj)+P(\bigcup_{i = 1}^n A_i) = \sum_{i = 1}^nP(A_i) - \sum_{1\le i \lt j \le n} P(A_iA_j) + \sum

    // TODO

  4. 单调不减性:若 ABA \subset BP(BA)=P(B)P(A)0P(B - A) = P(B) - P(A) \ge 0,则 P(B)P(A)P(B) \ge P(A)

  5. P(A)=1P(A)P(\overline A) = 1 - P(A)

  6. AnF,n=1,2,A_n \in F, n = 1,2, \ldots,且 A1A2AnA_1 \subset A_2 \subset \ldots A_n,则 P(n=1An)=limnAnP(\bigcup_{n = 1}^\infty A_n) = \lim_{n \to \infty} A_n

    称为下连续

  7. AnF,n=1,2,A_n \in F, n = 1,2,\ldots,且 AiA2AnA_i \supset A_2 \supset \ldots \supset A_n \supset \ldots,则 P(n=1An)=limnP(An)P(\bigcap_{n = 1}^\infty A_n) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)

    称为上连续
    6 和 7 也称作 pp 的连续性

1.5.3.4 例题

  1. A,B,CA, B, C 为三事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0=P(AC), P(BC)=1/8P(A) = P(B) = P(C) = 1/4, P(AB) = 0 = P(AC), \ P(BC) = 1/8ABCABC中至少有一个发生的概率。

    P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=14+14+1418+0=0.625\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) \\ & - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + 0 \\ &= 0.625 \end{aligned}

  2. 将编号为 1,2,31, 2, 3 的三本书任意地排在了书架上,求至少有一本书从左到右的排列序号与之编号相同的概率。

    AkA_k: 第 kk 本书在第 kk 个位置上, k=1,2,3k = 1,2,3 \ldots
    A=A1A2A3A = A_1 \cup A_2 \cup A_3
    P(Ak)=1(31)!3!=1/3P(A_k) = \frac{1 (3 - 1)!}{3!} = 1/3
    P(AiAj)=1×1×(32)!3!=1/6P(A_iA_j) = \frac{1 \times 1 \times (3 - 2)!}{3!} = 1/6
    P(A1A2A3)=1/3!P(A_1A_2A_3) = 1 / {3!}

  3. (匹配问题) 某人写了 n 封信,并将它们随机放入写着 n 封信收信人地址的信封内,求:

    1. 至少有一封信正确的概率
    2. n 个信封上的地址均不正确的概率
    3. 恰有 r 个信封上的地址正确的概率

    B:至少有一封信是对的。
    B_r:恰有 r 个是对的
    A_i: 第 i 封信对的

    1)

    P(B)=S1S2+S3++(1)n1SnP(Ai)=1n, S1=n×1n=1P(AiAj)=(n2)!n!=1n(n1), S2=1/2!Sn=1/n!\begin{aligned} P(B) &= S_1 - S_2 + S_3 + \cdots + (-1)^{n - 1}S_n \\ \\ P(A_i) &= \frac{1}{n}, \ S_1 = n \times \frac{1}{n} = 1 \\ \\ P(A_iA_j) &= \frac{(n - 2)!}{n!} = \frac{1}{n(n - 1)}, \ S_2 = 1/2! \\ \cdots \\ \\ S_n &= 1/n! \\ \end{aligned}

    P(B)=112!+13!++(1)n+11n!=k=1n(1)k+1k!\begin{aligned} P(B) &= 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \ldots + \ldots + (-1)^{n + 1}\frac{1}{n!} \\ &= \sum_{k =1 }^n \frac{(-1)^{k + 1}}{k!} \end{aligned}

    所以 limnP(B)=1e1\lim_{n \to \infty} P(B) = 1 - e^{-1}

    1. P(B0)=1P(B)P(B_0) = 1 - P(B)
    1. P(Ai1Ai2Air)=1n(n1)(nr+1)P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_r}) = \frac{1}{n(n -1) \ldots (n - r + 1)}
      而其余 r 个不对,即 k=0nr(1)k!\sum_{k = 0}^{n -r} \frac{(-1)}{k!}
      所以

    P(Br)=Cnr×1n(n1)(nr+1)×k=0nr(1)k!=1r!k=0nr1k\begin{aligned} P(B_r) &= C_n^r \times \frac{1}{n(n - 1)\ldots (n - r + 1)} \times \sum_{k =0}^{n -r} \frac{(-1)}{k!} \\ &= \frac{1}{r!} \sum_{k= 0}^{n -r} \frac{-1}{k} \end{aligned}

    P(Time)=PP(Time) = \prod P
    P(i=1n)=i=1n(P(Ai))P(\bigcup_{i = 1}^{n}) = \prod_{i = 1}^n (P(A_i))

1.6 等可能概型

1.6.1 定义

  1. 元素有限
  2. 基本事件发生概率相同

由上,基本事件概率 P({ei})=1/n,i=1,2,3P(\{e_i\}) = 1 / n , i = 1, 2, 3 \cdots

P(A)=j=1kP({eij})=k/n=Basic Events in ABasic event in SP(A) = \sum_{j = 1}^k P(\{e_{i_j}\}) = k / n = \frac{Basic \ Events \ in \ A}{Basic\ event \ in \ S}

实际推断原理:概率很小的事件在一次试验几乎不发生

1.6.2 例题

例1: 一个袋里有 5 个球,3 个白,2 个黑,从中任取三个:

  1. 求全是白球
  2. 全是黑球
  3. 一黑一白

改变上例为放回操作,重做题目。

例2: 产品检验模型,有 N 件,D 件次品,N - D 件正品
问任取 n 件,恰有 k 件是次品的概率

例3: 打牌(去除大小王),4 人,求某人拿到 4 张黑桃,且其他花色都是 3 张的概率

P(A)=C134C133C133C133C5213P(A) = \frac{ C^4_{13} C^3_{13} C^3_{13} C^3_{13} } {C^{13}_{52}}

例4: 把一副牌洗透了,求 4 张 A 连在一起的概率。

捆绑 + 插空。

P(A)=A44C491A5050A5252P(A) = \frac{A_4^4 C_{49}^1 A_{50}^{50}}{A_{52}^{52}}

例5:分房模型

将 n 个小球随机地放到 N 个大盒子中,求下列事件概率:

A:某指定的 n 个盒子中各有一个球;

球选盒子

P(A)=n!NnP(A) = \frac{n!}{N^n}

B:每个盒子中至多有一个球;

先把 n 个 盒子选出来,然后球选盒子

P(B)=CNnNnP(B) = \frac{C_N^n}{N^n}

C:某指定的一个盒子中恰有 m(m 小于等于 n) 个球

先将指定的 m 个球选出来,然后让剩下的小球到剩余的盒子中去

P(C)=Cnm(N1)nmNnP(C) = \frac{C_n^m (N - 1)^{n - m}}{N^n}

例6:假设没人的生日在 365 天中任一天,等可能,则随机选取 n 个人:

  1. 他们的生日各不相同的概率

    分房模型。

  2. 至少有两人相同的概率

    间接法,通过求解对立事件的概率来求解。

例7:摸球问题
设盒中有 α\alpha 个白球,β\beta 个黑球,现采用放回和不放回两种抽样方式。
从中任取 a + b 个球,问摸过的球中恰有 a 个白,b 个黑球的概率。

1.6 补充:几何概型

1.6sp.1 背景:约会问题

甲,乙两人相约在 0 到 T 这短时间内在预订的地点会面。先到的人等另外一人 t 时间,之后离开。
求甲、乙两人能会面的概率。

设 x, y 为到达的时刻,x0,yTx \le 0, y \le T
“会面” == xyt|x - y| \le t,通过画平面直角坐标系解决。

P(A)=T2(Tt)2T2=1(1tT)2\begin{aligned} P(A) &= \frac{T^2 - (T - t)^2}{T^2} \\ &= 1 - (1 - \frac{t}{T})^2 \end{aligned}

1.6sp.2 定义

试验 E 具有:

  1. 样本空间Ω\Omega 是一、二、三维中的度量(L(Ω)L(\Omega))
  2. 样本点在 Ω\Omega 中均匀分布

则称 E 为几何概型,则 P(A)=L(A)L(Ω)P(A) = \frac{L(A)}{L(\Omega)} 叫做几何概率

1.6sp.3 例题

  1. 平面上画有某距离为 a 的一些平行线,想平面上任意投一长为 l 的针,试求针与平行线相交的概率。

    取针的中点 M,中点到相交平行线的距离为 x ,与相交平行线的夹角为 ϕ\phi
    Ω={(x,ϕ)0xa2,0ϕπ}\Omega = \{(x, \phi)| 0 \le x \le \frac{a}{2}, 0 \le \phi \le \pi \}
    相交 ={(x,ϕ)xl2Sinϕ,(x,ϕ)Ω}= \{(x, \phi)|x \le \frac{l}{2}Sin\phi, (x, \phi) \in \Omega\}

    P(A)=L(A)L(Ω)=0πl2Sinϕdϕa2π=2lπa=2π×la\begin{aligned} P(A) &= \frac{L(A)}{L(\Omega)} \\ \\ &= \frac{\int_0^\pi \frac{l}{2}Sin\phi d\phi}{\frac{a}{2} \pi} \\ &= \frac{2l}{\pi a} \\ \\ &= \frac{2}{\pi} \times \frac{l}{a} \end{aligned}

1.7 条件概率

1.7.1 定义

AA BB 是两个事件,且 P(A)>0P(A) \gt 0,则称

P(BA)=P(AB)P(A)P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}

称为事件 A 发生下,事件 B 发生的概率

由于条件概率仍然是概率,则满足概率加法

P(B1B2A)=P(B1A)+P(B2A)P(B1B2A)P(B_1 \cup B_2 | A) = P(B_1|A) + P(B_2 |A) - P(B_1B_2|A) \varnothing

解题要点:从 AA 中寻找属于 BB 的元素,即 AA BB 的交集

1.7.2 全概率公式和贝叶斯公式

1.7.2.1 样本空间的划分

满足以下条件的称为样本空间的划分

  1. BiBj=B_iB_j = \varnothing
  2. B1B2Bn=SB_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = S

B1,B2BnB_1, B_2 \cdots B_n 称为样本空间 SS划分

1.7.2.2 全概率公式

P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)++P(ABn)P(Bn)=i=1nP(Ai)P(BAi)\begin{aligned} P(A) &= P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \cdots + P(A|B_n)P(Bn) \\ &= \sum_{i =1}^nP(A_i)P(B|A_i) \end{aligned}

1.7.2.3 贝叶斯公式

假设 A1AnA_1 \cdots A_nΩ\Omega 的一个划分,P(Ai)>0, P(B)>0P(A_i) \gt 0,\ P(B) \gt 0, 则有

P(BiA)=P(ABi)P(Bi)j=1nP(ABj)P(Bj)P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j = 1}^nP(A|B_j)P(B_j)}

以上两个公式的关键,事件,Ω\Omega的划分

1.7.2.4 乘法公式

P(B)>0P(B) \gt 0 则有
P(AB)=P(B)P(AB)P(AB) = P(B)P(A|B)
推广 P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1An1)P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1 \cdots A_{n - 1}) , 当 P(A1A2An1)<0P(A_1A_2 \cdots A_{n - 1}) \lt 0

1.7.2.5 例题

  1. 盒子里有 16 个球,6 个玻璃球, 10 个木头球。玻璃球有 2 红 4 蓝,木头球有 3 红 7 蓝。问题:摸一个球,已知是玻璃球,问是蓝色的概率
\玻璃木头
23
47
\610

观察可知 P(AB)=4/6P(A|B) = 4/6
p(AB)=4/16p(AB) = 4/16

  1. 某人忘了电话号码的最后一位,因而随意拨号,求拨号不超过 2 次就能接通的概率

    A1:A_1: 第一次通
    A2:A_2: 第二次通
    A=A1A1A2A = A_1 \cup \overline A_1 A_2

    P(A)=P(A1)+P(A1A2)=110+P(A1)P(A2A1)=210\begin{aligned} \therefore P(A) &= P(A_1) + P(\overline A_1 A_2) \\ &= \frac{1}{10} + P(\overline A_1 )P(A_2|\overline A_1) \\ &= \frac{2}{10} \end{aligned}

  2. 抓阄:有 5 张条,其中 3 张有,2 张无。现从中任取一张,不放回,问第一个人抽到有的概率

    P(A)=35P(A) = \frac{3}{5}

    P(B)=P(BΩ)=P(B(AA))=P(BABA)=P(BA)+P(BA)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=35×24+25×34=35\begin{aligned} P(B) &= P(B \Omega) = P(B(A\cup \overline A)) \\ \\ & = P(BA\cup B\overline A) = P(BA) + P(B \overline A) \\ \\ & = P(A)P(B|A) + P(\overline A)P(B | \overline A) \\ \\ & = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \\ \\ & = \frac{3}{5} \end{aligned}

  3. 某实验室的晶体管由三个厂家提供,有下表:

厂家次品率份额
10.0215%
20.0180%
30.035%
  1. 随机取一支,它是次品的概率
  2. 随机取一支,已知是次品,是出自 1 厂的概率

常识: P(B)=0.02×15%+0.01×80%+0.03×5%P(B) = 0.02 \times 15\% + 0.01 \times 80\% + 0.03 \times 5\%
1): AiA_i: 拿到的次品来自于第 ii 个厂家生产的

P(B)=P(Ai)P(BAi)P(B) = P(A_i)P(B|A_i)

2):

P(AiB)=P(Ai)P(BA1)P(B)=15%×0.020.0125\begin{aligned} P(A_i|B) &= \frac{P(A_i)P(B|A_1)}{P(B)} \\ &= \frac{15\% \times 0.02}{0.0125} \end{aligned}

1.8 独立性

AA BB 两事件,满足 P(AB)=P(A)P(B)P(A|B) = P(A)P(B), 即 P(AB)=P(B)P(A|B) = P(B)
A,BA,B 相互独立,简称独立

1.8.1 独立性定理

  1. A,BA,B 独立,则 P(AB)=P(B)P(A|B) = P(B)

  2. A,BA,B 独立,则 A,B; A,B; A,BA,\overline B;\ \overline A, B;\ \overline A, \overline B

    推广:若积事件的概率都等于事件概率的积。那么事件相互独立

1.8.2 推论

  1. A1,A2,AnA_1, A_2, \cdots A_n 相互独立,那么其中的任意 k 个事件也相互独立
  2. A1,A2,AnA_1, A_2, \cdots A_n 相互独立,将其中任意多个转换为对立事件,也相互独立

1.8.3 例题

  1. 质地均匀的正四面体,分别染上红色,黄色,蓝色,第四个面染上红、黄、蓝三种颜色。试验:扔一次,观察接触桌子的一面所对应的颜色。

    假设 AA:有红色,BB:有黄色,CC:有蓝色
    AiA_i:第ii 个面接触桌子
    P(Ai)=1/4P(A_i) = 1/4A=A1A4A = A_1 \cup A_4 B=A2A4B = A_2 \cup A_4 C=A3A4C = A_3 \cup A_4

    P(A)=P(B)=P(C)=P(A1)+P(A4)=14+14=12\begin{aligned} P(A) &= P(B) = P(C) = P(A_1) + P(A_4) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \end{aligned}

    P(AB)=P(A4)=14=P(A)+P(B)=12+12P(AB) = P(A_4) = \frac{1}{4} = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
    \because P(ABC)=P(A4)=1/4P(ABC) = P(A_4) = 1/4

    \therefore 两两独立不代表三个以上的事件组独立

  2. n 个人同时射击某一个目标,假设每人击中目标的概率为 p, 且各人是否击中目标相互独立,求目标被击中的概率 BB

    假设 BB:目标被击中
    AiA_i:第 ii 个击中,则 B=i=inAiB = \bigcup_{i = i}^nA_i

    P(B)=P(i=1nAi)=1P(A1A2An)=1P(i=1nAi)=1(1p)n\begin{aligned} \therefore P(B) &= P(\bigcup_{i = 1}^n A_i) \\ &= 1 - P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) \\ &= 1- P(\prod_{i = 1}^n \overline A_i) \\ &= 1- (1 - p)^n \end{aligned}

1.9 第一章例题

  1. 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率。

    间接法:没有任何两只配成一双
    排列法:

    P(A)=1P(A)=110×8×6×410×9×8×7=1821\begin{aligned} P(A) &= 1 - P(\overline A) \\ &= 1 - \frac{10 \times 8 \times 6 \times 4}{10 \times 9 \times 8 \times 7} \\ &= 1 - \frac{8}{21} \end{aligned}

    组合法:

    n=C104, mA=C54×2×2×2×2P(A)=1P(A)=1mn=1C104C54×2×2×2×2\begin{aligned} n = C_{10}^4, \ m_{\overline A} = C_5^4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ \\ \begin{aligned} P(A) &= 1 - P(\overline A) \\ &= 1 - \frac{m}{n} \\ &= 1 - \frac{C_{10}^4}{C_5^4 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} \end{aligned} \end{aligned}

    直接法:

    mA=C51C82C52n=C104d\begin{aligned} m_A = C_5^1 C_8^2 - C_5^2 \\ n = C_{10}^4 \\ d \end{aligned}

  2. 设 A B 两事件, 已知 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(BA)=0.4P(A) = 0.5, P(B) = 0.6, P(B|\overline A) = 0.4
    求 (1) P(AB)P(\overline A B) (2) P(AB)P(AB) (3) P(AB)P(A \cup B)

    P(AB)=P(A)×P(BA)=0.2P(\overline A B) = P(\overline A) \times P(B|\overline A ) = 0.2

    AB=BAB,BABP(AB)=P(B)P(AB)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)\begin{aligned} & \because AB = B - \overline A B, B \supset \overline A B \\ \\ & \therefore P(AB) = P(B) - P(\overline A B) \\ \\ & P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \end{aligned}

  3. 设考生的报名表来自三个地区各有 10 份, 15 份, 25 份,其中女生分别为 3 份, 7 份, 5 份。随机从一地区,先后任取两份报名表。


    (1) 先取出一份是女生的概率;
    (2) 已知后取出的一份为男生的,而先取出的一份为女生的概率。

    BkB_k:第 k 次取出的是女生 k=1,2k = 1, 2
    AiA_i:考生第 i 个地区,i=1,2,3i = 1, 2, 3
    P(B1)=P(B2)P(B_1) = P(B_2)

    P(B1)=i=13P(Ai)P(B1Ai)=13×310+13×715+13×525=2990\begin{aligned} P(B_1) &= \sum_{i = 1}^3 P(A_i)P(B_1|A_i) \\ \\ &= \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{7}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{25} \\ \\ &= \frac{29}{90} \end{aligned}

    条件概率

    P(B1B2)=P(B1B2)P(B2)P(B1)=P(B2)P(B2)=12990=6190\begin{aligned} & P(B_1|\overline {B_2}) = \frac{P(B_1 \overline {B_2})}{P(\overline {B_2})} \\ \\ & \because P(B_1) = P(B_2) \\ \\ & \therefore P(\overline {B_2}) = 1 - \frac{29}{90} = \frac{61}{90} \end{aligned}

    B1B2=Ω(B1B2)=(A1A2A3)(B1B2)=A1B1B2A2B1B2A3B1B2\begin{aligned} \therefore B_1\overline {B_2} &= \Omega(B_1 \overline {B_2}) \\ \\ &= (A_1 \cup A_2 \cup A_3)(B_1 \overline {B_2}) \\ \\ &= A_1B_1 \overline {B_2} \cup A_2 B_1 \overline {B_2} \cup A_3 B_1 \overline {B_2} \\ \end{aligned}

    P(B1B2)=i=13P(AiB1B2)=i=13P(Ai)P(B1Ai)P(B2AiB1)=79\begin{aligned} \therefore P(B_1 \overline {B_2}) &= \sum_{i = 1}^3 P(A_i B_1 B_2) \\ \\ &= \sum_{i = 1}^3 P(A_i)P(B_1 | A_i)P(\overline {B_2}| A_i B_1) \\ \\ &= \frac{7}{9} \end{aligned}

  4. 在 AB 电路中,元件的损坏是相互独立的。在 T 内,元件损坏的概率为

元件k1k2A_1A_2A_3
几率0.10.20.40.70.5

设 B 为断路事件

B=k1(A1A2A3)k2\begin{aligned} B = k_1 \cup (A_1A_2A_3) \cup k_2 \\ \end{aligned}