线性代数

1. 行列式

1.1 性质

1.1.1 转置

行列式 $D$ 与它的转置行列式 $D^T$ 的值相等

将行列式的行转成列即可得到其转置行列式

1.1.2 交换

交换行列式的任意两行（或者两列），行列式的值改变符号！

1.1.3 比例

如果行列式的某行或者某列都乘以同一个数 $k$，那么其值等同于用数 $k$ 乘以同一个行列式

其实就是可以把 $k$ 提到竖线外面！

1.1.4 值为 0

1. 如果行列式中有两行相同，那么行列式的值为 0
2. 如果某一行或者某一列的元素均为 0，那么行列式的值为 0
3. 如果某两行的元素成比例，那么行列式的值为 0

1.1.5 拆分

如果某行元素为一个和式或者差式，那么就可以把这个行列式拆分成两个行列式的和与差

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\ \\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \end{aligned}$

1.1.6 变换

将行列式的某一行的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行的对应元素上去，所得行列式仍然为 $D$

这里指的是行列式本身都不会变，包括其余子式
注意，产生改变的是另一行，而不是乘上数的那一行

1.1.7 余子式相关

划去某个元素的所在行和所在列之后，留下的行列式称为元素的余子式

例如

$\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{vmatrix}$

划除第一个 $1$ 的所在行和所在列之后:

$\begin{vmatrix}y & y^2 \\ z & z^2 \end{vmatrix}$

即为第一个 $1$ 的余子式，记为 $M_{ij}$；

带上正负号后叫做代数余子式，记为 $A_{ij}$

则有

$A_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}$

特别要注意题意，给出和要求的到底是余子式还是代数余子式

定理

1. 行列式等于它的任一行（列）的个元素与其对应的代数余子式的乘积之和

   $D_n = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in}$

   据此可以将行列式进行降阶计算。

2. 行列式的某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 0

   如第一行的元素和第三行的元素的代数余子式的乘积之和为 0

   这是一个很重要的等价关系，有关行列式的余子式相关计算都会用到

1.1.8 范德蒙德行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ {a_1}^2 & {a_2}^2 & \cdots & {a_n}^2 \\ {a_1}^3 & {a_2}^3 & \cdots & {a_n}^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {a_1}^{n - 1} & {a_2}^{n - 1} & \cdots & {a_n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \le j \lt i \le n} (a_i - a_j)$

注意，结果的展开等于

$(a_n - a_1) (a_{n - 1} - a_1) \cdots (a_2 - a_1) \prod_{2 \le j \lt i \le n} (a_i - a_j)$

$i$ 和 $j$ 并不是同时增长，而是嵌套式增长

通常用于求根计算，找准 1 次项的行即可

1.1.9 克拉默法则

线性方程组的零解问题，找克拉默法则

若 $n$ 个方程 n 个未知量的非齐次线性方程组

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{11}x_1 + a{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ a_{11}x_1 + a{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \end{cases}$

的系数行列式 $D=det(a_{ij}) \neq 0$
则方程组必有唯一解

$x_j = \frac{D_j} {D}, j = 1, 2, \cdots, n.$

若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 $D = 0$

1.2 计算

通常有两种计算方法，一是直接用定义地算（交叉相乘等），二是经过变换之后降阶计算

通常是将式子变换成某一列的开头为 $1$，其余全为 $0$，然后按照行列式的展开原则。

下面讲一些特殊题型的解法。

1.2.1 “1 + 型”

$\begin{vmatrix} 1 + a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 + a_2 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 + a_n \\ \end{vmatrix}$

注意到每列元素之和为 $1 + \sum_{i = 1}^n \frac{1}{a_i}$，所以变化并提出公因式，得

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ {1\over{a_2}} & 1 + {1 \over {a_2}} & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {1\over{a_n}} & 1 & \cdots & 1 + {1 \over a_n} \\ \end{vmatrix}$

分别乘上 $-{1 \over a_i}$ 后加到第 $i$ 行得

$a_1 a_2 \cdots (1 + \sum_{i = 1}^n {1 \over a_i})$

1.2.2 类似范德蒙德类型

构造范德蒙德行列式来解

形如

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^4 & b^4 & c^4 & d^4 \\ \end{vmatrix}$

构造范德蒙德行列式

$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ a & b & c & d & x\\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 & x^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 & x^3 \\ a^4 & b^4 & c^4 & d^4 & x^4\\ \end{vmatrix}$

则所求行列式为 $x^3$ 的代数余子式的 $-1$ 倍
按照范德蒙德行列式展开并求出 $x^3$ 的系数即可

2. 矩阵

矩阵不一定是正方形的，行和列相同的矩阵被称为方阵

2.1 矩阵的四则运算

2.1.1 矩阵的加和减

矩阵的加和减满足交换律，结合律，数乘分配律

矩阵的数乘是所有元素都乘以 $k$，和行列式不同。
行列式只需要一行或者一列乘就可以了。
所以后面的方阵的行列式要特别注意指数。

2.1.2 矩阵的乘法

矩阵的乘法很特殊，其计算方法为：
行元素乘以对应列元素得到新矩阵的某行某列的一个元素

例如：
若 $AB = C$
矩阵 $C$ 的第一行第一列的元素 $c_{11}$ 等于 $A$ 的第一行乘以 $B$ 的第一列的乘积之和

$\begin{aligned} & \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots \\ b_{21} & \cdots \\ b_{31} & \cdots \\ \vdots & \\ b_{n1} & \cdots \\ \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} c_{11} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{bmatrix} \end{aligned}$

矩阵的乘法满足

1. 结合律

$(AB)C = A(BC)$

2. 左分配律和右分配律

$\begin{aligned} A(B + C) = AB + AC \\ (B + C)A = BA + CA \end{aligned}$

> 注意保证顺序不能变，特别是在多个矩阵一起乘的时候。

矩阵的乘法不满足交换律

2.2 矩阵的转置

矩阵的转置就是行变成列

性质：

1. $(A^T)^T = A$

2. $(A + B)^T = A^T + B^T$

3. $(kA)^T = k A^T$

4. $(AB)^T = B^T A^T$

   注意，乘法这里的顺序是倒过来的。

2.3 方阵的行列式

方阵的行列式没有什么大的要点
需要注意的就是数乘
$|kA| = k^n|A|$

矩阵的积的行列式等于行列式的积

2.4 逆矩阵

2.4.1 逆矩阵的定义和判定

如果存在矩阵 $B$ 使得矩阵 $A$ 满足

$AB = BA = E$

则 $A$ 为可逆矩阵

在证明时抓住已知条件，往 $E$ 方向构造

2.4.2 性质

1. 逆矩阵的逆为它本身

2. 转置矩阵的逆为逆矩阵的转

3. $AA^{-1} = E$

4. $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$

5. $|A^{-1}| = {1 \over {|A|} } = |A|^{-1}$

6. $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

注意抓准性质来计算，特别是第四条

2.4.3 计算

1. 伴随矩阵法
   由性质$A^{-1} = {\frac{1}{|A|}} {A^*}$求解出伴随矩阵即可。
   伴随矩阵等于对应的代数余子式所组成的矩阵

$A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{bmatrix}$

2. 初等变换法

   1. 在矩阵$A$后面接一个单位矩阵 $E$
   2. 经过初等变换后，将 $A$ 变成 $E$
   3. 此时，原来的 $E$ 就变成了 $A^{-1}$

3. 分块法

   利用分块矩阵将大矩阵分成小块，求解每个小矩阵的逆矩阵，再拼接起来，就求出了大矩阵的逆矩阵

2.5 特殊矩阵

1. 零矩阵：每个元素均为 $0$，记为 $O$

2. 单位矩阵：从左往右对角线上的元素均为 $1$，其余为 $0$，记为 $E$

3. 数量矩阵： $k$ 乘以单位矩阵的积

4. 对角矩阵：非对角线上的值全为 0 的矩阵称为对角矩阵

5. 上（下）三角矩阵：对角线以上或者对角线以下的值全部为 0 的矩阵称为上（下）三角矩阵

   三角矩阵的行列式的值等于对角线上的值的乘积